Symmetrische Funktionen

Symmetrische Funktionen

Symmetrische Funktionen, solche Funktionen der Wurzeln x1 x2 ... xn einer gegebenen Gleichung xn + p1 xn – 1 + p2xn – 2 + ... pn – 1 x + pn = 0, die bei Vertauschung von irgend zweien der Wurzeln ihren Wert nicht ändern.

Die Koeffizienten der Gleichung sind (abgesehen vom Vorzeichen) symmetrische Elementarfunktionen der Wurzeln, d.h. solche symmetrische Funktionen, die in bezug auf jede einzelne Wurzel vom ersten Grad sind. Für n = 4 ist z.B.


Symmetrische Funktionen

Allgemein ist pr = (–1)r Σ x1 x2 ... xr. Die Potenzsummen


Symmetrische Funktionen

lassen sich durch die Elementarfunktionen ausdrücken mittels der Newtonschen Formeln


Symmetrische Funktionen

Durch diese Rekursionsformeln ergeben sich die Potenzsummen als Funktionen der Koeffizienten und umgekehrt. Jede symmetrische Funktion φ der Wurzeln kann nur auf eine Art als ganze Funktion der Elementarfunktionen pi dargestellt werden, d.h.


Symmetrische Funktionen

kann geschrieben werden


Symmetrische Funktionen

In der ganzen Funktion rechts ist für jedes einzelne Glied

ρ1 + 2ρ2 + 3ρ3 + ... + n ρn = λ1 + λ2 + ... + λn

1.


also konstant; diese Größe heißt Gewicht der symmetrischen Funktion, während λ1 als Grad bezeichnet wird. Ist z.B. n = 4, so ist Σ x12 x2 x3 = – p1 p3p4 Grad 2 Gewicht 4;

Σ x13 x2 x3 = – p12 p3 + p1 p4 + 2p2 p3 Grad 3, Gewicht 5.

Weil


Symmetrische Funktionen

sein muß, kann man in dem Ausdruck für φ die einzelnen Glieder dadurch bestimmen, daß man alle Werte von ρ1... ρn wählt, die den Gleichungen 1. und 2. genügen. Alsdann bestimmt man die Koeffizienten µ durch Einsetzen der Wurzeln von speziellen Gleichungen, deren Wurzeln bekannt sind; z.B. für φ = Σ x12 x22 x3 x4 x5 ergibt sich


Symmetrische Funktionen

also

φ = µ1 p7 + µ2 p1 p6 + µ3 p2 p5 + µ4 p3 p4

Die Gleichungen (x – 1)5 = 0; (x – 1)6 = 0; (x – 1)7 = 0; (x – 1)8 = 0, die sämtliche Wurzeln gleich 1 haben, ergeben durch Einsetzen

10 = – 10µ3 – 50µ4; 60 = – 6µ2 – 90µ3 – 300µ4; 210 = – µ1 – 45µ2 – 441µ3 – 1125µ4; 560 = – 8µ1 – 224µ2 – 1568µ3 – 320µ4.

Hieraus folgt

µ1 = –14; µ2 = 5; µ3 = – 1; µ4 = 0; Σ x12 x22 x3 x4 x5 = – 14p7 + 5p1 p6p2 p5.

Die symmetrischen Wurzeln sind wichtig für die Theorie der Gleichungen.


Literatur: [1] Salmon, G., Vorlesungen über die Algebra der linearen Transformationen, deutsch von Fiedler, 2. Aufl., Leipzig 1877, Vorlesung 7. – [2] Serret, Handbuch der höheren Algebra, deutsch von Wertheim, 2. Aufl., I, Leipzig 1878, 2. Teil, Kap. 1–2. – [3] Faà di Bruno, Einleitung in die Theorie der binären Formen, deutsch von Walter, Leipzig 1881, 1. Abschn. – Tafeln von symmetrischen Funktionen finden sich in [1] und [3].

Wölffing.


http://www.zeno.org/Lueger-1904.

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