Hyperelliptische Integrale und Funktionen

Hyperelliptische Integrale und Funktionen

Hyperelliptische Integrale und Funktionen. Ein Integral heißt hyperelliptisch, wenn unter dem Integralzeichen ein Ausdruck √X vorkommt, wo X[165] ein Ausdruck vom p-Grad in x und p > 4 ist; es heißt insbesondere ultraelliptisch, wenn p gleich 5 oder 6 ist.

Die hyperelliptischen Integrale zerfallen wie die elliptischen (s.d.) in drei Gattungen, je nachdem sie für keinen Wert von x unendlich oder für einen Wert von x algebraisch unendlich oder für zwei Werte von x logarithmisch unendlich werden. Sie sind (p – 2)– oder (p – 1) fach unendlich vieldeutig, je nachdem p gerade oder ungerade ist.

Hyperelliptische Funktionen entstehen durch Umkehrung der hyperelliptischen Integrale. Doch kann z.B. in dem ultraelliptischen Integral


Hyperelliptische Integrale und Funktionen

wo


Hyperelliptische Integrale und Funktionen

ist, nicht die obere Grenze x als Funktion des Integrals u bestimmt werden. Es müssen vielmehr x und y aus den beiden Gleichungen:


Hyperelliptische Integrale und Funktionen

als Funktionen von u und v bestimmt werden (ultraelliptische Funktionen), x und y lind die Wurzeln einer quadratischen Gleichung, deren Koeffizienten durch ultraelliptische Thetafunktionen (s. Thetafunktionen) von u und v ausgedrückt werden, x und y sind vierfach periodisch.


Literatur: [1] Königsberger, Vorlesungen über die Theorie der hyperelliptischen Integrale, Leipzig 1878. – [2] Neumann, Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale, 2. Aufl., Leipzig 1884. – [3] Ohnesorge, A., Hyperelliptische Integrale und Anwendungen auf Probleme der Mechanik, Berlin 1889.

Wölffing.


http://www.zeno.org/Lueger-1904.

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