Ebene


Ebene

Ebene heißt das Erzeugnis einer Geraden, die immer durch einen Punkt geht und dabei eine Gerade schneidet. Sie teilt den Raum in zwei symmetrische Halbräume, ist unbegrenzt, in sich verschiebbar und umkehrbar; jede Gerade durch zwei Punkte derselben fällt ganz in sie hinein.

Die Gleichung der Ebene ist vom ersten Grad E = A x + By + C z + D = 0. Mit D = 0 geht die Ebene durch den Ursprung, mit A = 0, B = 0, C = 0 ist sie resp. parallel zur x-, y-, z-Achse. Mit


Ebene

geht sie resp. durch die x-, y-, z-Achse; mit


Ebene

steht sie resp. senkrecht zur x-, y-, z-Achse. Eine Ebene ist bestimmt durch drei Punkte a, b, c; a', b', c'; a'', b'', c''; ihre Gleichung ist:


Ebene

oder in Parameterdarstellung:


Ebene

Die Achsenabschnitte der Ebene E = 0 sind –D/A,D/C,D/C; ihre Koordinaten A/D, B/D, C/D oder homogen A : B : C : D. Der Winkel ψ der beiden Ebenen E = A x + B y + C z + D = 0 und E' = A' x + B' y + C' z + D' = 0 ist gegeben durch:


Ebene

wobei


Ebene

Die Ebenen sind parallel, wenn A : B : C = A' : B' : C'; sie sind aufeinander senkrecht, wenn AA' + BB' + CC' = 0. Hessesche Normalform der Ebenengleichung ist: x cos α + y cos β + z cos γ = d, wo cos2 α + cos2 ß + cos2 γ = 1. Dabei ist d = –D/W die Entfernung der Ebene vom Ursprung (das Vorzeichen von W wird so bestimmt, daß d positiv wird); cos α = A/W, cos ß = B/W, cos γ = C/W sind die drei Richtungskosinusse der Ebene, d.h. die Kosinusse ihrer Winkel mit der y z-, z x- und x y-Ebene. Abstand des Punktes a, b, c von der Ebene E = 0 ist: Aa + Bb + Cc + D/W positiv/negativ, je nachdem der Punkt mit dem Ursprung auf derselben/verschiedener Seite der Ebene liegt. Abstand zweier parallelen Ebenen Ax + By + Cz + D = 0 und Ax + By + Cz + D' = 0 ist DD'/W. Medianebenenpaar von E = 0 und E' = 0 ist E/W ± E'/W' = 0. – Zwei Ebenen E = 0 und E' = 0 bestimmen eine Gerade


Ebene

ist irgend eine Ebene durch dieselbe. Ist aber λ ein veränderlicher Parameter, so ist E + λE' = 0 der Inbegriff aller Ebenen durch die Gerade, also ein [205] Ebenenbüschel mit der Geraden als Achse. Zwei projektivische Ebenenbüschel


Ebene

erzeugen eine Regelfläche zweiter Ordnung


Ebene

welche in eine Kegelfläche übergeht, wenn die Achsen der Büschel sich schneiden. Drei projektivische Ebenenbüschel


Ebene

erzeugen eine Raumkurve dritter Ordnung. Drei Ebenen E = 0, E' = 0, E'' = 0 schneiden sich in einem Punkt; E + λE' + μE? = 0 stellt eine beliebige Ebene durch den Punkt, oder aber, wenn λ und μ veränderliche Parameter sind, den Inbegriff aller Ebenen durch den Punkt, also ein Ebenenbündel dar. Kann man jedoch λ und μ so bestimmen, daß E + λE' + μE'' = 0 unabhängig von x, y, z, so gehen E = 0, E' = 0, E'' = 0 durch eine Gerade hindurch. Drei kollineare Ebenenbündel


Ebene

erzeugen eine Fläche dritter Ordnung


Ebene

Vier Ebenen E = 0, E' = 0, E'' = 0, E''' = 0 schneiden sich in einem Punkt, wenn


Ebene

Andernfalls kann man die Gleichung jeder beliebigen Ebene auf die Form E + λE' + μE'' + νE''' bringen.


Literatur: [1] Salmon, G., Analytische Geometrie des Raumes, deutsch von Fiedler, 3. Aufl. Leipzig 1879, Bd. 1, Kap. 3.

Wölffing.


http://www.zeno.org/Lueger-1904.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • ébène — ébène …   Dictionnaire des rimes

  • ébène — [ ebɛn ] n. f. • ebaine XIIIe; ebenus XIIe; lat. ebenus, gr. ebenos, d o. égypt. ♦ Bois de l ébénier, d un noir foncé, d un grain uni et d une grande dureté, utilisé en tabletterie, marqueterie, brosserie, etc. Coffret d ébène. Bracelet en ébène …   Encyclopédie Universelle

  • Ebene — Ébène Nom vernaculaire ou nom normalisé ambigu : Le terme « Ébène » s applique, en français, à plusieurs taxons distincts. Ébène …   Wikipédia en Français

  • Ebène — Ébène Nom vernaculaire ou nom normalisé ambigu : Le terme « Ébène » s applique, en français, à plusieurs taxons distincts. Ébène …   Wikipédia en Français

  • Ebene — steht allgemein für eine ebene Fläche, siehe Planarität mathematisch für einen zweidimensionalen Vektorraum, siehe Ebene (Mathematik) geometrisch für die euklidische Ebene, ein zweidimensionaler euklidischer Raum geographisch für eine Landschaft …   Deutsch Wikipedia

  • ébène — ÉBÈNE. s. f. Le bois de l Ébenier. Ébène noire. Cabinet d ébène. Bordure d ébène. Travailler en ébène. Il y a diverses sortes d ébène. De l ébène verte. De l ébène grise. De l ébène rouge et noire, blanche et noire …   Dictionnaire de l'Académie Française 1798

  • ebene — Ebene. subst. f. Le bois de l ebenier. Ebene noire. cabinet d ebene. bordure d ebene. travailler en ebene. il y a diverses sortes d ebene. de l ebene verte. de l ebene grise …   Dictionnaire de l'Académie française

  • ébéné — ébéné, ée (é bé né, née) part. passé. Du bois ébéné …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • Ebene — [Aufbauwortschatz (Rating 1500 3200)] Auch: • Flachland • Niveau • Stufe • Spiegel • Wert(e) Bsp.: • …   Deutsch Wörterbuch

  • Ebene — Ebene, 1) in der Geographie ein ausgedehntes Flachland von Bergketten od. vom Meere eingeschlossen. Man unterscheidet Tiefebene u. Hochebene. Tiefebenen sind im Allgemeinen von weit größerer Ausdehnung u. erscheinen in ihrer Bodenbildung als… …   Pierer's Universal-Lexikon