Doppelverhältnis

Doppelverhältnis. Liegen auf einer geraden Linie vier Punkte a, b, c, d, so entstehen mit Bezug auf die Strecke ab durch die Punkte c und d die Teilverhältnisse ac : bc und ad : bd. Das Verhältnis (ac : bc) : (ad : bd) oder abgekürzt geschrieben (a b c d) dieser Teilverhältnisse bezeichnet man als Doppelverhältnis.

Kennt man auf einer Geraden drei Punkte, so gibt es auf ihr nur einen Punkt, der mit den gegebenen drei Punkten ein Doppelverhältnis von bestimmtem Werte bildet. Mit vier Elementen lassen sich 24 verschiedene Permutationen herstellen, somit sind 24 Doppelverhältnisse mit vier Punkten einer Geraden möglich. Diese Doppelverhältnisse besitzen aber nur vier verschiedene Werte. Bezeichnet m den Wert des Doppelverhältnisses (a b c d), so sind mit den vier Punkten a, b, c, d die folgenden Doppelverhältnisse möglich:

(abcd) = (badc) = (cdab) = (cdba) = m

(bacd) = (abdc) = (cdba) = (dcab) = 1 : m

(bcad) = (cbda) = (adbc) = (dacb) = (m – 1) : m

(cbad) = (bcda) = (adcb) = (dabc) = m : (m – 1)

(cabd) = (acdb) = (bdca) = (dbac) = 1 : (1 – m)

(acbd) = (cadb) = (bdac) = (dbca) = 1 – m.

Mit vier durch einen Punkt gehenden Strahlen A, B, C, D bezw. vier eine Gerade enthaltenden Ebenen läßt sich mit Bezugnahme auf die Winkel dieser Strahlen bezw. Ebenen das Verhältnis (sin AC/sin BC) : (sin AD/sin BD) aufstellen; es wird das Doppelverhältnis der vier Strahlen bezw. Ebenen genannt.

In der projektiven Geometrie wird gezeigt, daß die projektive Verwandtschaft der geometrischen Grundgebilde bedingt ist durch die Doppelverhältnisgleichheit von je vier entsprechenden Elementen der in Rede stehenden Gebilde.

Literatur: Steiner, Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten voneinander, Berlin 1832; Möbius, Der baryzentrische Kalkül, Leipzig 1827; Staudt, Geometrie der Lage, Nürnberg 1847; s.a. die Literatur unter Geometrie.

Vonderlinn.