Diskriminante

Diskriminante

Diskriminante.

a) Ist eine binäre Form n. Ordnung f(x, y) (s. Form) oder eine durch Nullsetzen derselben entstehende Gleichung f(x, y) = 0 gegeben, so heißt Diskriminante D diejenige Koeffizientenverbindung derselben, deren Verschwinden anzeigt, daß die algebraische Gleichung zwei gleiche Wurzeln besitzt. D ist vom Grad 2(n – 1) in den Koeffizienten a0 a1 ... an von f; sie ist eine Invariante. Man erhält D als Resultante von ∂f/∂x = 0 und ∂f/∂y = 0. Sind ferner α1 α2 ... αn die Wurzeln der algebraischen Gleichung, so ist

D = (a2 – α1)2 (α3 – α1)2 ... n – α1)2. (α3 – α2)2 ... (αn – α2)2 ..... αn – αn – 1)2,

also gleich dem Produkt der Quadrate der Wurzeldifferenzen. Die Diskriminante von f · φ ist D von f mal D von φ mal Quadrat der Resultante von f und φ.

Für f = dx2 + 2bxy + cy2 ist D = ac – b2.

Für f = ax3 + 3bx2y + 3cxy2 + dy3 ist D = 4 (ac – b2) (bd – c2) – (ad – bc)2.

Für f = ax4 + 4bx3y, + 5cx2y2 + 4dxy3 + ey4 ist

D = (ae – 4bd + 3c2)3 27 (ace + 2bcd – ad2 – b2e – c3)2.

b) Ist eine ternäre Form n Ordnung f (x, y, z) oder eine durch Nullsetzen derselben entstehende Gleichung einer ebenen Kurve gegeben, so heißt Diskriminante D die Koeffizientenverbindung, deren Verschwinden die Existenz eines Doppelpunktes (s. Punkte) der betreffenden

Kurve anzeigt. Sie ist Resultante von ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0, ∂f/∂z = 0, und vom Grad 3 (n – 2)2.

Die Diskriminante der Kegelabschnittgleichung ax2 + 2bxy + cy2 + 2dxz + 2eyz + fz2 =0 ist


Diskriminante

sie verschwindet, wenn der Kegelschnitt in ein Geradenpaar zerfällt.

c) Bei quaternären Formen bezw. Flächengleichungen zeigt das Verschwinden der Diskriminante die Existenz eines Knotenpunktes (s. Punkte) an u.s.w.


Literatur: [1] Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, 5. Aufl., Leipzig 1881, S. 135. – [2] Salmon, G., Vorlesungen über die Algebra der linearen Transformationen, deutsch von W. Fiedler, 2. Aufl., Leipzig 1877, 11. und 16. Vorles. – [3] Gordan, P., Vorlesungen über Invariantentheorie, herausgeg. von Kerschensteiner, Bd. 1, § 14. – [4] Faà di Bruno, Einleitung in die Theorie der binären Formen, deutsch von Walter, Leipzig 1881, § 7. – [5] Hagen, J., Synopsis der höheren Mathematik, Bd. 1, Berlin 1891, S. 197 ff.

Wölffing.


http://www.zeno.org/Lueger-1904.

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