Astatik

Astatik

Astatik, ein besonderer Zweig der Lehre von der Ersetzung der Kräfte an einem starren Körper (s. Aequivalenz der Kräfte). Derselbe entstand im Verfolg der Frage nach dem Vorhandensein eines »Mittelpunktes« der angreifenden Kräfte. Im Falle paralleler Kräfte ist ein solcher Mittelpunkt im Schwerpunkt der Angriffspunkte, die man sich mit Maßen proportional den wirkenden Kräften belegt denkt, immer vorhanden. Ist dieser Schwerpunkt unterstützt, so ist der Körper unter dem Einfluß der Parallelkräfte in jeder Lage im Gleichgewicht, und dieses heißt ein astatisches. Unter dem Namen Astatik faßt man nun alle Untersuchungen zusammen, die sich auf den Fortbestand der Wirkung eines an einem starren Körper angreifenden Kräftesystems beziehen, wobei die Angriffspunkte der Kräfte im Körper fest bleiben und die Kräfte selbst ihre Richtung und Größe beibehalten, während die Lage des Körpers gegen das Kräftesystem sich ändert.

Parallelverschiebung des Körpers ändert die Wirkung der Kräfte auf den Körper nicht, nur Drehung. Die astatische Wirkung eines Kräftesystems Pi mit den Komponenten Xi, Yi, Zi, die in den Punkten mit den Koordinaten Xi, Yi, Zi angreifen, ist durch folgende 12 Größen bestimmt:


Astatik

Sind dieselben gleich null, so ist der Körper im asiatischen Gleichgewicht, d.h. in einem Gleichgewicht, das auch dann noch aufrechterhalten bleibt, wenn man den Körper dreht, während die Kräfte an ihren Angriffspunkten in gleicher Richtung und Größe wirken. Für das gewöhnliche Gleichgewicht, wobei die Kräfte in ihren Wirkungslinien verschiebbar gedacht sind, müssen nur sechs Bedingungen erfüllt sein, nämlich

A = B = C = 0 und a12a21 = a23a23 = a31a13 = 0.

Die zwölf Bedingungen des asiatischen Gleichgewichtes ergeben sich, wenn man ausdrückt, daß nach Drehung des Körpers um jede der drei Koordinatenachsen unabhängig vom Drehwinkel φ noch gewöhnliches Gleichgewicht zwischen den angreifenden Kräften herrscht.

Die eingangs erwähnte Frage nach dem Vorhandensein eines asiatischen Mittelpunktes, durch den die Resultante des Kräftesystems in jeder Lage des Körpers hindurchgeht, ist außer für Parallelkräfte auch noch für Kräfte in einer Ebene allgemein zu bejahen. Betrachten wir zunächst zwei Kräfte P und Q (s. die Figur) in der Ebene, die in den Punkten A und B angreifen und kein Paar bilden. Dreht man beide, ohne ihre gegenseitige Neigung zu ändern, um ihre Angriffspunkte, so beschreibt der Schnittpunkt O ihrer Richtungslinien einen durch AB gehenden Kreis. Auf diesem liegt der astatische Mittelpunkt der Kräfte und zwar im Punkt C, in dem die durch O gehende Resultante der Kräfte P und Q den Kreis schneidet. Werden die Kräfte parallel, so geht der Kreis in die Gerade AB über und C wird der Drehpunkt des Hebels, an dem sich die Kräfte das Gleichgewicht halten. Um für mehr als zwei Kräfte in der Ebene den asiatischen Mittelpunkt zu finden, zerlegt man alle Kräfte in die Komponenten X und Y, sucht den Mittelpunkt A des X-Komponenten und jenen B des Y-Komponenten. Der astatische Mittelpunkt des Systems ist dann der Mittelpunkt C der beiden Kräfte ΣX und ΣY, die in A und B angreifen.

Befindet sich ein räumliches System, das um eine feste Achse drehbar ist, im nichtastatischen Gleichgewicht, so kann man die zur Achse senkrechten (und daher einer Ebene parallelen) Komponenten der Kräfte durch ihre astatische Resultante ersetzen, ohne daß die Art des Gleichgewichts (ob stabil oder labil) geändert wird.

Ein freies räumliches Kräftesystem, das nicht im asiatischen Gleichgewicht ist, hat nur ausnahmsweise einen asiatischen Mittelpunkt. Man findet die Bedingungen des Vorhandenseins eines solchen sowie dessen Koordinaten, indem man an dem noch unbekannten Punkt die Resultante der wirkenden Kräfte in entgegengesetzter Richtung anbringt und die Bedingungen des astatischen Gleichgewichtes des so ergänzten Kräftesystems ausdrückt.


Literatur: Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, 2. Aufl., Bd. 2, Kap. XI, Leipzig 1879,80. – Darboux, Memoire sur l'équilibre astatique, Paris 1877.

S. Finsterwalder.

Astatik

http://www.zeno.org/Lueger-1904.

См. также в других словарях:

  • astatique — [ astatik ] adj. • 1820; du gr. astatos « instable » 1 ♦ Phys. Qui est en équilibre dans toutes les positions. Système astatique : ensemble de deux aiguilles aimantées identiques disposées en sens inverse, sur lequel le champ magnétique est sans… …   Encyclopédie Universelle

  • Aequivalenz der Kräfte — Aequivalenz der Kräfte. Zwei Kräftesysteme heißen äquivalent, d.h. durch einander ersetzbar, wenn sie auf dasselbe Punktsystem die gleiche Wirkung ausüben. Die Wirkung eines Kräftesystems besteht darin, daß es dem Punktsystem einen… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Angriffspunkt [1] — Angriffspunkt einer Kraft ist der Punkt, auf den dieselbe unmittelbar wirkt. Gehört dieser einem Punktsystem an, so wirkt die Kraft mittelbar auf dieses, und es hängt ihre Wirkung von der Art und Weise ab, wie die Systempunkte zum System… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Mittelpunkt der Kräfte — Mittelpunkt der Kräfte. Ein ebenes Kräftesystem, angreifend an einem unveränderlichen Punktsystem, ist im allgemeinen durch eine Einzelkraft ersetzbar, die längs der Zentralachse des Systems wirkt (s. Zentralachse). Dreht man das Punktsystem um… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Sicherheitsfunktion — des Gleichgewichts. Wenn ein unveränderliches Massenpunktsystem (starrer Körper) von Kräften angegriffen wird, so kann dasselbe[97] im allgemeinen in eine oder mehrere Lagen gelangen, in welchen die Kräfte im Gleichgewicht sind. Diese… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Statik [1] — Statik ist die Theorie des Gleichgewichts der Kräfte. Sie umfaßt das Gleichgewicht der Momentankräfte wie das der kontinuierlichen Kräfte. Kräfte sind Größen von bestimmter Intensität, Richtung und Sinn. Sie sind daher durch geometrische Strecken …   Lexikon der gesamten Technik


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