Gleichungen [1]

Gleichungen. Es handelt sich hier nicht um identische Gleichungen, die (wie z.B. (a + b) (a – b) = a² – b²) für alle beliebigen Werte der darin vorkommenden Größen richtig sind (s. Identitäten), sondern um Gleichungen im engeren Sinne, die zur Bestimmung unbekannter Größen dienen sollen. Eine Gleichung mit einer Unbekannten oder ein System von Gleichungen mit mehreren Unbekannten auflösen heißt, die Werte bezw. Wertsysteme der Unbekannten bestimmen, die der Gleichung bezw. dem System von Gleichungen genügen (sie befriedigen, identisch machen). Eine Gleichung wird algebraisch genannt, wenn sie in bezug auf jede darin enthaltene Unbekannte algebraisch ist; transzendent, wenn sie in bezug auf mindestens eine Unbekannte transzendent ist. Man unterscheidet numerische Gleichungen, in denen außer den Unbekannten alle vorkommenden Größen bestimmte Zahlenwerte haben, und litterale oder Buchstabengleichungen.

I. Gleichungen mit einer Unbekannten.

Eine Gleichung mit einer Unbekannten x läßt sich immer auf die Form f(x) = 0 bringen, wo die linke Seite eine Funktion von x bezeichnet. Jeder ihr genügende Wert von x heißt eine Wurzel der Gleichung.

a) Algebraische Gleichungen im allgemeinen. Irrationale Gleichungen lassen sich rational machen. Ist (durch Wegschaffen etwaiger Nenner und Ordnen nach Potenzen von x) die Form

f(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n–1 +a₂ x^n–2 + ... + a_n–1 x + a_n = 0

hergestellt, so nennt man n den Grad der Gleichung, a₀, a₁, a₂, ... a_n–1 die Koeffizienten, a_n das Absolutglied derselben.

Die Anzahl der Wurzeln ist genau gleich dem Grade n, wobei etwaige imaginäre Wurzeln mitgezählt und unter Umständen einzelne Wurzeln mehrfach gerechnet werden müssen (s. unten). Heißen die Wurzeln x₁, x₂, x₃ ... x_n, so ist

f(x) = a₀(x – x₁) (x – x₂) (x – x₃) ... (x – x_n).

Bedeutet s_k die Summe aller möglichen Produkte von je k Wurzeln (so daß insbesondere s₁ die Summe aller Wurzeln, s_n ihr Produkt bezeichnet), so ist

Zur Prüfung, ob x = r eine Wurzel ist, wird zweckmäßig der Satz benutzt: Der Wert f(r), den f(x) für x = r annimmt, ist gleich dem bei der algebraischen Division von f(x) durch (x – r) übrigbleibenden Rest R. Bezeichnet g (x) = b₀ x^n–1 + b₁ x^n–2 + ... + b_n–21 x + b_n–1 den bei der Division sich ergebenden Quotienten, so berechnet man die Koeffizienten b und den Rest R nach dem Schema:

(Horners Divisionsmethode.) Beispiel:

daher x = 2 eine Wurzel der Gleichung.

Um die Gleichung zu erhalten, deren Wurzeln alle um r kleiner sind als die der gegebenen, hat man die Substitution y = x – r zu machen; heißt dann die neue Gleichung c₀ yⁿ + c₁ y^n–1 + ... + c_n–1 y + c_n, so sind en, c_n, c_n–1, ... c₂, c₁, c₀ die Reite, die sich bei wiederholter Division von f(x) mit (x – r) ergeben. Durch Wurzelverkleinerung mit –a_{n – 1}/na_n läßt sich das zweite Glied aus der Gleichung fortschaffen.

Beispiel:

also transformierte Gleichung: y³ – 41 y² – 92 = 0.

Ist r eine Wurzel von f(x) = 0, so läßt sich nach Obigem f(x) durch den »Wurzelfaktor« (x – r) ohne Rest teilen; r heißt eine k-fache Wurzel, wenn f(x) durch (x – r)^k und keine höhere Potenz von (x – r) teilbar ist. Eine solche Wurzel genügt auch den Gleichungen f(x) = 0, f'' (x) = 0, ... f^k–1(x) = 0, deren linke Seiten die Differentialquotienten verschiedener Ordnung bis zum (k – 1) ten von f(x) sind. Der Quotient f(x)/f' (x) gibt, gleich Null gesetzt, eine Gleichung mit denselben Wurzeln wie die gegebene, die aber sämtlich einfach sind. Fehlen in einer Gleichung das Absolutglied und noch (k – 1) vorhergehende Glieder, d.h. ist die linke Seite durch x^k teilbar, so hat sie die k-fache Wurzel 0.

Für Gleichungen mit reellen Koeffizienten, wie sie im folgenden vorausgesetzt werden, gilt: Ist (α + i β) eine Wurzel, so ist es auch (α – i β), d.h. imaginäre Wurzeln kommen bloß paarweise und zwar konjugiert komplex vor; eine Gleichung ungeraden Grades hat daher mindestens eine reelle Wurzel.

[563] b) Gleichungen zweiten Grades (quadratische Gleichungen).

α. Algebraische Auflösung. x² + b x + c = 0 gibt die Wurzeln

dagegen

Dieselben sind {reell und verschieden/reell und einander gleich imaginär}, je nachdem die »Diskriminante« b² – 4 a c 0 ist.

β. Goniometrische Auflösung (für logarithmische Rechnung geeignet).

Erster Fall. Die Gleichung habe die Form x² + 2px – q = 0, wo p und q positiv seien. Man berechnet den Winkel φ aus der Gleichung

dann ist

wobei man das obere oder untere Vorzeichen zu nehmen hat, je nachdem im zweiten Glied der gegebenen Gleichung das obere oder untere Zeichen gilt.

Zweiter Fall. x² ± 2p x + q = 0; p und q positiv. Der Hilfswinkel φ ist in diesem Falle aus

zu berechnen und es wird

Ergibt sich für log sin 2φ ein positiver Wert, so sind die Wurzeln imaginär, nämlich

(ψ kann im ersten oder zweiten Quadranten liegen). Betreffs der Vorzeichen gilt das beim ersten Fall Bemerkte.

γ. Auflösung durch besondere Hilfsmittel.

Sind, bei der Form a x² + b x + c = 0, log a, log b, log c gegeben und log x gesucht, so führt am bequemsten eine Hilfstafel zum Ziele, die sich mit drei Stellen in [15] findet. Mechanische Lösung mittels der gewöhnlichen Rechenmaschinen (s.d.) nach [16].

c) Gleichungen dritten Grades (kubische Gleichungen). Hat die Gleichung die Form a y³ + b y² + c y + d = 0, so gibt man ihr durch Wurzelverkleinerung um b/3a d.h. durch Substitution von y = x – b/3a (s. unter a) und nachherige Division mit a die Form x³ + 3p x + 2q = 0 (reduzierte kubische Gleichung).

α. Algebraische Auflösung. Setzt man

so sind die Wurzeln vorstehender Gleichung x₁ = u + v (sogenannte Cardanische Formel),

Ist q² + p³ < 0, so werden alle drei Wurzeln scheinbar imaginär, während sie tatsächlich reell sind (casus irreducibilis). Man wendet dann die Auflösung unter β, 3. Fall, an.

β. Goniometrische Auflösung. (In den Fällen 1 und 2 ist die Auflösung unter γ einfacher.)

Erster Fall. x³ + 3p x ± 2q = 0, wo p und q jetzt positiv sein sollen. Man berechnet den Winkel φ aus

und hierauf den Winkel ψ aus

dann ist

Die oberen oder unteren Zeichen sind zu nehmen, je nachdem im Absolutglied der gegebenen Gleichung das obere oder untere Zeichen vorhanden ist, welche Bemerkung auch für alle folgenden Fälle gilt.

Zweiter Fall. x³ – 3p x ± 2q = 0; p und q positiv; p³ < q². Die Hilfswinkel φ und ψ sind zu bestimmen aus

Man erhält

Dritter Fall. x³ – 3p x ± 2q = 0; p und q positiv; p³ > g². Man bestimmt den Winkel φ aus

dann wird

Vierter Fall. x³ – 3p x ± 2q = 0; p und q positiv; p³ = q².

γ. Auflösung mit Hyperbelfunktionen (s.d.). (Zu benutzen, wenn bloß eine reelle Wurzel vorhanden ist.)

Erster Fall. x³ – 3p x ± 2q = 0; p und q positiv. Man muß die Hilfsgröße φ aus

berechnen. Die Wurzeln sind dann

[564] Zweiter Fall. x³ – 3p x ± 2q = 0; p und q positiv; p³ < q² Nach Bestimmung der Hilfsgröße φ aus

ergibt sich

δ. Mechanische Auflösung. Ist die Anfangsziffer einer reellen Wurzel bekannt, so lassen sich weitere Ziffern durch gleichzeitige Anwendung zweier gewöhnlicher Rechenmaschinen nach [16] bestimmen.

d) Gleichungen vierten Grades (biquadratische Gleichungen). Die algebraische Auflösung findet man in den Lehrbüchern, z.B. [1]–[5]. Bei numerischen Gleichungen wird besser eine der Methoden unter f) benutzt.

e) Binomische (reine)Gleichungen, xⁿ = a bezw. xⁿ = –a (a positiv reell) gibt, wenn

die positive reelle Wurzel aus a bezeichnet,

bezw.

Die n Werte von

bezw.

gehen aus der Formel:

cos 2kπ/n + i sin 2kπ/n bezw. cos (2k + 1/n)π + i sin (2k + 1/n)π

hervor, indem man darin für k der Reihe nach 0, 1, ... n – 1 setzt.

Beispiel: n = 3:

x³ = 1 hat die Wurzeln

x³ = –1 die Wurzeln

f) Algebraische Gleichungen beliebigen Grades und transzendente Gleichungen.

Gleichungen von höherem als dem vierten Grade lassen sich im allgemeinen nicht algebraisch (d.h. mit Hilfe von Wurzelausdrücken) auflösen, wohl aber mittels transzendenter Funktionen (z.B. diejenigen fünften Grades mittels elliptischer Funktionen und mittels hypergeometrischer Reihen); jedoch sind die betreffenden Methoden sehr verwickelt. Gräffes Methode (s. unten) verlangt keine Vorbereitung und ist zu empfehlen, wenn man sämtliche (auch etwaige komplexe) Wurzeln einer Gleichung nötig hat. Andernfalls löst man die Gleichung am besten zuerst graphisch auf (s. Graphisches Rechnen) und erhöht, wenn nötig, die Genauigkeit der gefundenen Wurzeln mittels einer der unten folgenden Annäherungsmethoden, von welchen die unter 2. und in gewissem Umfang auch 1. auch für transzendente Gleichungen brauchbar sind. Zur Auflösung trinomischer (dreigliedriger) algebraischer Gleichungen gibt es besondere Tafeln von Gundelfinger [14]. – Nützlich sind oft folgende Sätze:

Die (algebraische) Gleichung f(x) = 0 hat höchstens so viel positive Wurzeln als (die Aufeinanderfolge ihrer Glieder) Zeichenwechsel, und höchstens so viel negative Wurzeln als die Funktion f(–x) Zeichenwechsel (Descartessche Regel).

Beispiel: f(x) = x⁵ + 6x² – 8 x + 1 = 0, zwei Zeichenwechsel (vom 2. zum 3. und vom 3. zum 4. Glied);f(–x) = – x⁵ + 6x² + 8x + 1 = 0, ein Zeichenwechsel (vom 1. zum 2. Glied); also höchstens zwei positive und eine negative reelle Wurzel.

Die Gleichung f(x) = 0 hat zwischen a und b eine ungerade Zahl von Wurzeln und zwar mindestens eine, wenn f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen haben, dagegen keine oder eine gerade Anzahl, wenn die Vorzeichen von f(a) und f(b) gleich sind.

Des theoretischen Interesses wegen seien noch erwähnt der Satz von Budan-Fourier: Hat die Funktion f(x + a) m Zeichenwechsel mehr als die Funktion f(x + b), so hat die Gleichung f(x) = 0 zwischen a und b höchstens m reelle Wurzeln; sowie der Satz von Sturm: Sind f₂(x), f₃(x), ... .f_m(x) die mit umgekehrten Zeichen genommenen Reste, die sich bei der Aufsuchung des größten gemeinschaftlichen Teilers der Funktion f(x) und ihres Differentialquotienten f' (x) ergeben, und setzt man in der Reihe der Funktionen f, f', f₂, f₃, ...f_m für x einmal a, das andremal b, so hat die erste Wertreihe genau so viel Zeichenwechsel mehr als die zweite, wie die Gleichung f(x) = 0 Wurzeln zwischen a und b.

1. Gräffes Methode, von Carvallo [7] sehr vervollkommnet und auf komplexe Wurzeln sowie nicht reelle und transcendente Gleichungen ausgedehnt, besteht in der Hauptsache darin, daß man nacheinander die Gleichungen bildet, deren Wurzeln die negative 2., 4., 8. ... Potenz von den Wurzeln der gegebenen Gleichung sind. Beim Fortschreiten zu immer neuen Gleichungen entfernen sich deren Wurzeln schnell voneinander, so daß bald gegen irgend eine von ihnen alle kleineren vernachlässigt werden können, was zu einer bequemen Bestimmung jeder einzelnen führt. Wegen der Einzelheiten sei auf [7] verwiesen.

2. Regula falsi, Newtonsche Methode und Methode der Proportionalteile. Sie beruhen darauf, daß bei kleinen Aenderungen von x die Funktion f(x) Aenderungen erfährt, die denen von x nahezu proportional sind (geometrisch: daß ein hinreichend kleines Stück einer Kurve y = f(x) als geradlinig angesehen werden darf).

Sei a nahe bei einer Wurzel von f(x) = 0 (also f(a) wenig von 0 verschieden), a + δ noch näher. Die Verbesserung δ wird nach der Regula falsi berechnet aus

wo a₁ einen wenig von a verschiedenen Wert bezeichnet; nach der Newtonschen Methode aus δ = f(a)/f' (a)nach der Methode der Proportionalteile aus δ = –f(a)/P, wo P (Proportionalteil) die in Einheiten irgend einer Dezimale ausgedrückte Aenderung von f(a) bei der Zunahme von a um eine Einheit jener Dezimale bedeutet (P ergibt sich bei der Berechnung von f(a) mittels[565] gewöhnlicher oder Additionslogarithmen nebenher, s. [8]). Ist die gewünschte Genauigkeit noch nicht erreicht, so setzt man den verbesserten Wert von a an des letzteren Stelle, berechnet eine neue Verbesserung u.s.w.

3. Horners Methode. Sie setzt voraus, daß die Anfangsziffer α des dekadisch geschriebenen Zahlenwertes einer Wurzel x schon gefunden sei, und dient dazu, der Reihe nach die 2., 3. u.s.w. Ziffer zu bestimmen. Man bildet die Gleichung, deren Wurzeln um α kleiner sind als die der gegebenen (s. unter a), sucht einen Näherungswert der x entsprechenden Wurzel dieser Gleichung, erhält damit die 2. Ziffer von x u.s.w. Geeignetste Methode, um Quadrat- und höhere Wurzeln ohne Logarithmen auszuziehen (man löst bei die Gleichung xⁿ – a = 0 auf). Eingehend beschrieben in [9].

II. Systeme von Gleichungen mit mehreren Unbekannten.

Es werde hier angenommen, die Zahl der Gleichungen sei so groß wie die Zahl der Unbekannten. Wäre erstere Zahl kleiner, so handelte es sich um unbestimmte oder diophantische Gleichungen (s.d.). Ueber graphische Auflösung s. Graphisches Rechnen.

a) Gleichungen ersten Grades (lineare Gleichungen). Das gegebene, aus n Gleichungen bestehende System sei:

Dann bieten sich folgende Auflösungsmethoden dar:

1. Gewöhnliche Eliminationsmethode. Man eliminiert eine und dieselbe Unbekannte aus sämtlichen Gleichungen, indem man n-mal je zwei von ihnen zusammenfaßt, und erhält so (n – 1) neue Gleichungen, aus denen man auf dieselbe Art eine zweite Unbekannte eliminiert u.s.w., bis eine Gleichung mit einer Unbekannten übrigbleibt, aus der sich letztere bestimmen läßt. Durch Einsetzen des gefundenen Wertes in die vorhergehenden Gleichungen ergeben sich der Reihe nach auch die übrigen Unbekannten. Um z.B. aus der i ten und k ten Gleichung x_n zu eliminieren, hat man erstere mit a_kn, letztere mit a_in zu multiplizieren und die eine von der andern zu subtrahieren.

2. Clasens Methode [10] bezweckt eine rationellere Ausführung der Elimination. Man stellt allmählich lauter Gleichungen her, in denen je nur eine Unbekannte vorkommt, indem man aus den ersten beiden Gleichungen einmal x₁ und dann x₂ eliminiert, mit Hilfe der beiden neuen Gleichungen – auf die alten kommt man nicht mehr zurück – aus der 3. gegebenen Gleichung gleichzeitig x₁ und x₂ entfernt und mit Hilfe der so entstandenen Gleichung wiederum x₃ aus den beiden vorhergehenden eliminiert u.s.w.

3. Auflösung mittels Determinanten. Sie liefert direkt

wo D = Σ ± a₁₁a₂₂a₃₃ ... a_nn die Determinante aus den Größen a ist und die Determinanten in den Zählern dadurch aus D hervorgehen, daß man der Reihe nach in der 1., 2., ... Kolonne die a durch die Größen c ersetzt. Bei numerischen Gleichungen ist diese Methode höchstens bis n = 4 brauchbar.

4. Seidels Methode [11] ist bei sehr großer Zahl der Gleichungen und Unbekannten anzuwenden. Kennt man schon angenähert richtige Werte der Unbekannten, so setzt man diese, andernfalls etwa Null als ersten Näherungswert für jede Unbekannte in sämtliche Gleichungen ein. Die linken Seiten mögen dann die Werte w₁, w₂, ... w_n (Widersprüche) annehmen. Man bestimmt eine Verbesserung ξ₁ für den Näherungswert der ersten Unbekannten aus a₁₁ξ₁ + w₁ = 0, die bezweckt, daß der Widerspruch der 1. Gleichung verschwindet. Durch Anbringung dieser Verbesserung ändern sich die Widersprüche der übrigen Gleichungen, z.B. derjenige der k ten wird w_k' = w_k + ak₁ξ₁. Nun gibt man dem Näherungswert der 2. Unbekannten eine solche Verbesserung, daß der Widerspruch der 2. Gleichung Null wird, wodurch die Widersprüche aller übrigen Gleichungen sich ändern u.s.w. Sind alle Unbekannten verbessert, so wiederholt man, wenn nötig, das Verfahren. Damit Konvergenz, d.h. fortwährende Annäherung an die wirklichen Werte der Unbekannten, stattfindet, genügt es, daß jeder in der »Diagonale« stehende Koeffizient a₁₁, a₂₂ ... a_nn, absolut genommen, mindestens so groß ist wie die Summe der absoluten Werte der in derselben (senkrechten oder wagerechten) Reihe mit ihm stehenden Koeffizienten.

Man kommt bedeutend schneller zum Ziel, wenn man mit Mehmke [12] die gegebenen Gleichungen und ebenso die Unbekannten in Gruppen von zwei oder mehr einteilt und die Unbekannten einer Gruppe gleichzeitig so verbessert, daß die Widersprüche der zugehörigen Gleichungen miteinander verschwinden.

Sind z.B. x_i und x_k zu einer Gruppe zusammengenommen, so berechnet man ihre Verbesserungen ξ₁ und ξ_k aus

Nach Anbringung derselben verwandeln sich die Widersprüche der Gleichungen in

Gleichungssysteme mit schwacher Konvergenz können nach einem Verfahren von Jürgens [13] in solche mit beliebig starker Konvergenz verwandelt werden.

b) Gleichungen beliebigen Grades und transcendente Gleichungen. Sind bei einem System von beliebig vielen Gleichungen für die Unbekannten x₁, x₂ ... auf irgend eine Weise Näherungswerte gefunden, so lassen sich Verbesserungen δ₁, δ₂ ... nach der Methode der Proportionalteile auf folgende Weise bestimmen: Durch Einsetzen der Näherungswerte für die Unbekannten[566] mögen die linken Seiten der Gleichungen die Werte w₁, w₂ ... (Widersprüche) erhalten. Benutzt man dabei Logarithmen- oder andre numerische Tafeln, so lassen sich leicht die Aenderungen angeben, die jene Widersprüche erfahren würden, wenn die Näherungswerte der Unbekannten der Reihe nach um die unbestimmten, aber kleinen Beträge δ₁, δ₂ ... erhöht würden. Diese Aenderungen werden lineare Funktionen der δ sein, so daß die geänderten Widersprüche die Form haben werden

w₁ + a₁₁δ₁ + a₁₂δ₂ + ... + w₂ + a₂₁δ₁+ a₂₂δ₂ + ...

Setzt man diese gleich Null, so ergibt sich ein System linearer Gleichungen, aus welchen die Verbesserungen δ₁, δ₂ ... berechnet werden können.

Literatur: Von den unter [1]–[5], [17], [18] genannten Lehrbüchern entsprechen [4] und [5] dem neuesten Stand der algebraischen Gleichungstheorie und stellen höhere Anforderungen an den Leser; [9] ist praktisch immer noch sehr brauchbar. – [1] Baltzer, R., Elemente der Mathemathik, Bd. 1, Leipzig 1865. – [2] Petersen, J., Theorie der algebraischen Gleichungen, Kopenhagen 1878. – [3] Serret, J.A., und Wertheim, G., Handbuch der höheren Algebra, 2. Aufl., Leipzig 1878/79. – [4] Weber, H., Lehrbuch der Algebra, Bd. 1, Braunschweig 1895. – [5] Netto, E., Vorlesungen über Algebra, Bd. 1, Leipzig 1896. – [6] Hagen, J.G., Synopsis der höheren Mathemathik, Bd. 1, Berlin 1891. – [7] Carvallo, E., Méthode pratique pour la résolution numérique complète des équations, Paris 1896. – [8] Mehmke, R., Praktische Methode zur Berechnung der reellen Wurzeln ..., Zeitschr. f. Math. u. Phys., Bd. 36, 1891, S. 158. – [9] Scheffler, H., Auflösung der algebraischen und transzendenten Gleichungen, Braunschweig 1859. – [10] Clasen, B.J., Nouvelle méthode de résolution des équations linéaires, Paris 1889. – [11] Seidel, L., Ueber ein Verfahren, ... lineare Gleichungen durch successive Annäherung aufzulösen, Abh. d. Math.-phys. Klasse d. K. bayr. Akad. d. Wiss., Bd. 11, 3. Abt., 1874, S. 81. – [12] Mehmke, R., Ueber das Seidelsche Verfahren ..., Math., Samml. d. Moskauer Math. Gesellsch., Bd. 16, 1892. – [13] Jürgens, E., Zur Auflösung linearer Gleichungssysteme ..., Aachen 1886. – [14] Gundelfinger, S., Tafeln zur Berechnung der reellen Wurzeln sämtlicher trinomischer Gleichungen, Leipzig 1897. – [15] Mehmke, R., Zeitschr. f. Math. u. Phys., Bd. 43, 1898, S. 80. – [16] Ders., Zur Berechnung der Wurzeln quadratischer und kubischer Gleichungen mittels der gewöhnlichen Rechenmaschinen, ebend., Bd. 46, 1901, S. 479. – [17] Runge, C., Praxis der Gleichungen, Leipzig 1902. – [18] Biermann, O., Vorlesungen über mathematische Näherungsmethoden, 3. Abschnitt, Braunschweig 1905.

Mehmke.