Trägheitsellipse

Trägheitsellipse

Trägheitsellipse, geometrisch abgeleitet.

Es sei F der Flächeninhalt einer ebenen Figur, S ihr Schwerpunkt und Δ F ein unendlich kleines Element der Figur; a und b seien zwei in der Ebene gelegene Achsen und x und y ihre Abstände vom Elemente Δ F. Das Produkt Δ F · y nennt man das statische Moment des Elementes in bezug auf die Achse a. Nach der Theorie des Schwerpunktes ist das statische Moment der ganzen Fläche Σ (Δ F · y) = F · ys. Ersetzt man nun die Flächeninhalte Δ F durch die statischen Momente Δ F · y und bestimmt deren Schwerpunkt, so findet man einen von S verschiedenen Punkt A. Mit Hilfe dieses Punktes kann der Wert Z = Σ (Δ F · y · x), das »Zentrifugalmoment« der Figur in bezug auf die Achsen a und b berechnet werden. Da A der Schwerpunkt der statischen Momente Δ F · y ist, so ist nämlich das Zentrifugalmoment gleich der Summe der statischen Momente multipliziert mit xa oder Z = xa Σ (Δ F · y) = F · ys · xa. Läßt man b mit a zusammenfallen, so geht das Zentrifugalmoment in das Trägheitsmoment J für die Achse a über und es ist J = Σ (Δ F · y2) = F · ys · ya. Der Punkt A ist von der Lage der Achse a abhängig; zu jeder Achse a gehört ein bestimmter Punkt A. Geht die Achse a durch den Schwerpunkt S, so fällt A ins Unendliche, weil in diesem Falle ys = 0, J dagegen von Null verschieden ist. Fällt umgekehrt die Achse a ins Unendliche, so haben alle Elemente gleiche Hebelarme; der Punkt 4 als Mittelpunkt der statischen Momente fällt daher mit dem Schwerpunkt S zusammen. Gleich wie A der Schwerpunkt der auf a bezogenen statischen Momente ist, so sei B der Schwerpunkt der auf b bezogenen statischen Momente (Fig. 2). Dann ist das Zentrifugalmoment Z auch gleich yb Σ (Δ F · x) = F · xs · yb. Fällt A mit b zusammen, so wird Z = 0; folglich ist auch yb = 0, und es fällt auch B mit a zusammen (Fig. 3). Dreht sich b um A, so bewegt sich B auf a; dem Punkte A entspricht somit umgekehrt (und zwar eindeutig) die Linie a. Dem Schnittpunkte C von a und b entspricht ferner die Verbindungslinie c von A und B. Da diese Beziehungen allgemein gültig sind, so folgt, daß die Achsen und die ihnen entsprechenden Punkte ein Polarsystem bilden, dessen Mittelpunkt der Schwerpunkt S ist. Ersetzt man die Punkte A durch die symmetrisch zu ihnen gelegenen Punkte A' (Fig. 1), so besitzt das Polarsystem eine reelle Ordnungskurve, und zwar eine Ellipse, die man »Trägheitsellipse« oder »Zentralellipse« der Figur nennt. Heißt man A den »Antipol« (s.d.) von a, so ergeben sich folgende Sätze: Das Zentrifugalmoment einer Figur in bezug auf zwei Achsen ist gleich dem Flächeninhalte multipliziert mit dem Abstände des Schwerpunktes von der einen Achse und mit dem Abstand des Antipols dieser Achse von der zweiten (Z = F · ys · xa). Das Trägheitsmoment einer Figur in bezug auf eine Achse ist gleich dem Flächeninhalte multipliziert mit den Abständen des Schwerpunktes und des Antipols von der Achte (J = F · ys · ya). Sind die Achsen in bezug auf die Ellipse zueinander konjugiert, d.h. geht die eine durch den Pol der andern, so wird Z = 0. Wird die Figur durch zwei aufeinander senkrecht stehende Achsen symmetrisch geteilt, so sind diese Achsen die Ellipsenachsen.

In der Fig. 4 bilden die Punktepaare AG, DE und S ∞ eine Involution (s.d.). Folglich ist SA : SD = SE : SG. Hieraus folgt xa – xs : k = i : ys oder ys · xa = ys · xs + i · k. Das Zentrifugalmoment ist daher auch Z = F (ys · xs + i · k) und das Trägheitsmoment J = F (ys2 + i2), da i2 = (ya – ys) ys, also ys · ya = i2 + ys2 ist. Gehen beide Achsen durch den Schwerpunkt, so wird Z = F · i · k und J = F · i2, womit die Uebereinstimmung unsrer Ellipse mit der analytisch abgeleiteten Trägheitsellipse nachgewiesen ist.


Literatur: Culmann, Graph. Statik, Zürich 1875, Guidi, Lezioni di Statica graf., Torino 1886/87; Ritter, W., Schweiz. Bauzeitung 1888, Bd. 11, S. 121.

(† W. Ritter) Mörsch.

Fig. 1., Fig. 2.
Fig. 1., Fig. 2.
Fig. 3., Fig. 4.
Fig. 3., Fig. 4.

http://www.zeno.org/Lueger-1904.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Kern [2] — Kern (Zentralkern) bedeutet den Teil einer Querschnittsfläche, innerhalb dessen der Angriffspunkt einer Normalkraft P liegen muß, damit alle im Querschnitt auftretenden Spannungen dasselbe Vorzeichen haben wie die Kraft P. Es ist dies von… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Angriffspunkt [2] — Angriffspunkt der Kraft nennt man in der Lehre von der Biegungsfestigkeit den Punkt, in dem die Mittelkraft der außerhalb eines Balkenquerschnitts angreifenden Kräfte den Querschnitt schneidet. Zerlegt man die Mittelkraft in diesem Punkte in eine …   Lexikon der gesamten Technik

  • Elastizitätsellipse — Elastizitätsellipse, eine Hilfskurve bei Lösung von Aufgaben aus der Baustatik. An dem linken Ende des rechts eingespannten Fachwerkträgers B C (Fig. 1) greife die Kraft R an. Dann wirkt im dritten unteren Gurtstäbe die Kraft U = R r : a (vgl.… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Kernformel — Kernformel. Nach der Lehre von der Biegung (s.d.) ist die größte in einem Balkenquerschnitt auftretende Normalspannung σ = P : F + e M : J, worin P die Normalkraft, M ihr statisches Moment hinsichtlich des Schwerpunktes, F den… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Trägheitsellipsoid — Trägheitsellipsoid, geometrisch abgeleitet. Gleichwie die Trägheitsellipse einer ebenen Figur, so läßt sich auch das Trägheitsellipsoid eines Körpers geometrisch ableiten. Ist V das Volumen des ganzen Körpers und Δ V dasjenige eines… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Trägheitskreis — Trägheitskreis, Mohrscher. Der von Mohr (1888) angegebene Trägheitskreis bietet eine übersichtliche Darstellung der Trägheits und Zentrifugalmomente beliebiger Flächen auf Achsen, die durch einen Punkt gehen. Er ersetzt daher in vorteilhafter… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Trägheitsmoment [2] — Trägheitsmoment, graphische Berechnung. Während das Trägheitsmoment bei einfachen oder rechtwinklig begrenzten Figuren mittels Formeln berechnet wird, empfiehlt sich bei unregelmäßigen Figuren das graphische Verfahren. Soll z.B. das… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Zentralellipse — Zentralellipse, s. Trägheitsellipse …   Lexikon der gesamten Technik

  • Zentrifugalmoment — Zentrifugalmoment, s. Trägheitsellipse …   Lexikon der gesamten Technik

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”