Arithmetisch-geometrisches Mittel


Arithmetisch-geometrisches Mittel

Arithmetisch-geometrisches Mittel. Seien a und b zwei beliebige positive reelle Größen. Bildet man aus ihnen das arithmetische Mittel a1 = (a + b)/2 und das geometrische Mittel


Arithmetisch-geometrisches Mittel

dann aus a1 und b1 wieder das arithmetische und geometrische Mittel, nämlich


Arithmetisch-geometrisches Mittel

und


Arithmetisch-geometrisches Mittel

u.s.w., so nähern sich die Größen a1 a2, a3 ... und b1, b2, b3 ... einer gemeinsamen Grenze, welche nach Gauß das arithmetisch-geometrische Mittel von a und b genannt und mit M(a, b) bezeichnet wird. Es findet bei der Berechnung elliptischer Integrale Verwendung (s. etwa [3], § 44, S. 362 ff.); so ist z.B.


Arithmetisch-geometrisches Mittel

Zur direkten Bestimmung des arithmetisch–geometrischen Mittels kann eine Tafel von [446] Gauß [1], S. 403, für die Größen M (1, sin φ) und ihre Logarithmen dienen, deren Argument 2φ ist. Man hat nämlich, wenn a > b und sin φ = b/a, M (a, b) = a · M (1, sin φ).


Literatur: [1] Gauß' Werke, 2. Aufl., Göttingen 1876, Bd. 3, S. 361–403. – [2] Borchardt, Ueber das arithmetisch-geometrische Mittel, Crelles Journal für Mathematik 1861, Bd. 58, S. 127. – [3] Enneper, Elliptische Funktionen, Theorie und Geschichte, 2. Aufl., neu bearbeitet und herausgegeben von F. Müller, Halle a. S. 1890.

Mehmke.


http://www.zeno.org/Lueger-1904.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Arithmetisch-geometrisches Mittel — In der Mathematik bezeichnet man als arithmetisch geometrisches Mittel zweier positiver reeller Zahlen eine gewisse Zahl, die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel liegt. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Einfaches… …   Deutsch Wikipedia

  • Geometrisches Mittel — Das geometrische Mittel ist ein Mittelwert; es ist in der Statistik ein geeignetes Mittelmaß für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten. Inhaltsverzeichnis 1… …   Deutsch Wikipedia

  • Gewichtetes geometrisches Mittel — Das geometrische Mittel ist ein Mittelwert; es ist in der Statistik ein geeignetes Mittelmaß für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2… …   Deutsch Wikipedia

  • Mittel [1] — Mittel, a) arithmetisches, die halbe Summe zweier Zahlen, allgemein die Summe von n Zahlen dividiert durch n; b) geometrisches, die Quadratwurzel aus dem Produkt zweier Zahlen, allgemein die n te Wurzel aus dem Produkt von n Zahlen; c)… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Gewichtetes Mittel — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia

  • Gewogenes arithmetisches Mittel — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia

  • Hölder'sches Mittel — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia

  • Höldersches Mittel — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia

  • Winsorisiertes Mittel — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia

  • Gemittelt — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.