Komplanation

Komplanation

Komplanation, die Berechnung des Inhalts krummer Flächen.

I. Komplanation in Parallelkoordinaten. Gesucht Stück S der Fläche z = f(x, y), das begrenzt ist durch die Ebenen x = x0 und x = x1 und die Zylinderflächen y = φ (x) und y = φ (x). Es ist


Komplanation

Beispiel: Böhmisches Gewölbe, d.h. Fläche der Kugel x2 + y2 + z2 = c2, begrenzt durch die Ebenen x = 0, x = a; y = 0, y = b. Es ist: S = c(aα + bβ – cγ), wenn


Komplanation

Besondere Fälle der Komplanation in Parallelkoordinaten.

a) Bei einer Drehungsfläche, die durch Drehung der Kurve y = f (x) um die x-Achse entsteht, hat das von den Ebenen x = x0 und x = x1 begrenzte Stück die Fläche


Komplanation

Beispiele: Drehungsellipsoid


Komplanation

b) Der Körper sei begrenzt durch zwei Zylinderflächen y = φ (x) und z = ψ (x), durch die Ebenen y = 0, z = 0, x = x0, x = x1; so ist die Fläche des ersten Zylinders, die an der Begrenzung teilnimmt,


Komplanation

die entsprechende Fläche des zweiten Zylinders


Komplanation

Beispiele:

α) Parabolisches Klostergewölbe gibt mit


Komplanation


Komplanation

[580] also die ganze Fläche


Komplanation

β) Elliptisches Klostergewölbe


Komplanation

Komplanation

das gedrückte Gewölbe.


Komplanation

Komplanation

das überhöhte Gewölbe. γ) Kreisförmiges Klostergewölbe


Komplanation

II. Komplanation im gemischten Polarsystem. Das auf der Fläche z = f(r, φ) durch die Zylinderfläche r = f1 (φ) und die Ebenen φ = φ0 und φ = φ1 begrenzte Stück hat die Fläche


Komplanation

III. Komplanation im reinen Polarsystem Das auf der Fläche r = f(φ, ϑ) durch die Kegelfläche (ϑ)f = fx(d) und die Ebenen ϑ = ϑ0 und ϑ = ϑ1 begrenzte Stück ist


Komplanation

Literatur: [1] Serret, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, deutsch von Harnack, Bd. 2, 2. Hälfte, Leipzig 1885, 5. Kap. – [2] Schlömilch, O., Uebungsbuch zum Studium der höheren Analysis, 2. Teil, 2. Aufl., Leipzig 1874, 17–18; 27–29.

Wölffing.


http://www.zeno.org/Lueger-1904.

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